谢尔宾斯基 一个受尽欺凌的民族，如何孕育出闻名世界的数学学派

美国密西西比大学数学系丁九教授

波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基。来源:维基百科

波兰数学家Shcherbinski很有建树，在集合论、数论、函数论、拓扑学等方面都有突出贡献。

但他对整个数学界最大的贡献和他苦难的祖国，在于他毕生致力于波兰数学学校的建立和成长。他漫长的一生充分展示了这位波兰数学领袖的远见和智慧，以及他对一代又一代年轻数学家的教导。

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10月21日是波兰数学家谢尔宾斯基(1882-1969)逝世50周年。在过去的100年里，世界各地的数学家从他的724篇学术论文和50本书中获得了思想、灵感和知识:集合论得益于他对连续统和选择公理的基础研究；数论者从他无数的数论文章和教科书中获取信息和养料。他与杰出的俄罗斯数学家尼古拉·尼古拉耶维奇·卢津(1883-1950)的长期合作为实变函数理论的宏伟建筑做出了贡献。作为不规则点集的先驱构造者，他的“谢尔宾斯基三角”已成为现代分形学中的一朵奇葩。

01

多产的数学家

Shcherbinski的出生日期非常“数学化”，那一天是3月14日，也就是现在所知的“π日”，他的第一本书专门研究无理数。受他的博士生导师、数论家乔治·沃罗诺伊(Georgi Voronoy，1868-1908)的影响，他在早期的科学生涯中特别喜欢数论。大学毕业前获奖的研究课题也与数论有关，并与数学王子弗里德里希·高斯(1777-1855)的一部作品有着历史渊源。去世前二十年，他回到自己热爱的数论领域，继续修炼。

说到Shcherbinski的数学贡献，稍微懂一点混沌，特别是分形科学的人，会马上想到Shelbinski三角形的构造:给出一个等边三角形，去掉每条边的中点连接它形成的每条边一半大小的等边三角形，但保留它的三条边，然后对剩下的三个同样大小的等边三角形做同样的事情，然后对剩下的九个同样大小的更小的等边三角形重复，这样就无穷无尽了；所有没有被拿走的点组成一个集合，这个集合到处都是稀疏的，到处都是像海绵一样的洞，但是包含了无数个点。这是一百年前Shcherbinski构造的“奇异点集”，是著名的康托尔(1845-1918)在闭区间[0，1]构造的“康托尔三重多样性”的平面模拟。这两个数字因为伯努瓦·曼德尔布罗(1924-2010)在20世纪60年代开创的分形场而变得辉煌。

谢尔宾斯基三角来源:维基百科

在科学巨擘的革命工作之初，他们经常挣扎，甚至有被扼杀在摇篮里的危险。谢尔宾斯基的前任哥白尼(1473-1543)的日心说就是最好的例子。亨利·勒贝格(Henri Lebesgue，1875-1941)，与谢尔宾斯基同时代的法国数学家，创立了他的积分理论，但那些习惯于可微函数的黎曼积分的人根本无法理解他，于是他就成了冷门的“无导数的泛函人”。但是，真理最终会克服偏见，现在的勒伯格积分已经成为现代分析数学的“通用语言”。同样，Shcherbinski的“分形三角形”和其他几个经典的具有“自相似”特征的美丽点集，经过半个多世纪的冷遇和沧桑，现在被认为是对许多自然现象比光滑几何更自然、更恰当的数学描述。

20年前，美国一所大学的中国几何教授张新民将经典的谢尔宾三角形推广到任何三角形。得到的分形构造方法是将三角形的顶点与相对边的垂线对齐，然后去掉中间由三个垂直脚组成的“垂直三角形”。张教授对谢尔宾斯基非常钦佩，虽然谢尔宾斯基三角只是三个角都是60度的三角形，但他把这种新的分形命名为“谢尔宾斯基垂足三角形”。

第一个让Shcherbinski成名的数学工作是在他大学毕业前的最后一年完成的。他研究了著名的格问题，通常称为“高斯圆问题”。平面上的格点是坐标为整数的点。如果用N(r)来表示以原点为中心，R为半径的圆所包含的格点个数，那么就有常数C和K，它们对所有半径R都是可用的。

| N(r)–πR2 | & lt；C rk

设d为满足上述不等式的最小指数k。高斯在1837年证明了d ≤ 1。Shcherbinski的主要贡献是他证明了可以提高到d ≤ 2/3。在接下来的一百年里，这个值不断被数学家提炼。到目前为止，最好的结果是d ≤ 7/11左右。

02

波兰数学学校的建立

谢尔宾斯基是为数不多的多产数学家之一，但他对整个数学世界和他苦难的祖国最大的贡献，在于他毕生致力于波兰数学学派的建立和成长。他漫长的一生充分展示了这位波兰数学领袖的远见和智慧，以及他对一代又一代年轻数学家的教导。

现代波兰不仅是一个长期遭受外来侵略的国家，也是几个著名历史人物的诞生地，哥白尼和肖邦就是在这里诞生的。20世纪上半叶，在华沙和利沃夫形成了两个波兰数学学派。

华沙学派的长处在于集合论、数理逻辑、点集拓扑和函数论，这些都与数学的基础密切相关。在几十年的发展和成长中，谢尔宾斯基是名副其实的主要领导者。

利沃夫学派是一门新学科中泛函分析的主要设计者，以发现和证明泛函分析的几个主要定理而闻名。直到第二次世界大战结束，斯特凡·巴拿赫因病去世，他一直是当之无愧的国王，另一位领袖是发现巴纳赫天才的施泰因豪斯(1887-1972)。

波兰数学学派涌现出了一大批杰出的学者，包括数学家领袖Shcherbinski、调和分析的权威巴纳赫(Antoni Zygmund，1900-1992)、拓扑学家博苏克(Borsook，1905-1982)、美国氢弹之父乌兰姆(ulam，1909-1984)、另一位拓扑学家艾伦·艾伦堡(Allen Eilenberg，1913-1998)、著名概率理论家马克·卡奇(Mark Kac，1914-1984)。其他波兰数学家，如斯特凡·马祖尔凯维奇(1888-1945)、朱尔斯·夏德尔(1896-1943)、库拉托夫斯基(1896-1980)、萨克斯(1897-1997)

为什么被周边列强欺负，在东方的俄罗斯和西方的德国之间挣扎求生的波兰民族，百年前诞生了举世闻名的辉煌数学学派，为人类贡献了如此强大的数学家群体？回答这个问题的一条线索来自于19、20世纪之交的波兰局势和Shcherbinski的“数学史”。

Shcherbinski青年时期，德奥俄瓜分波兰，德国人在占领区几乎摧毁了波兰文化，华沙和利沃夫分别被俄罗斯和奥地利占领。在华沙的俄语统治学校，波兰语被驱逐出俄语，直到20世纪，波兰语才因俄罗斯革命的兴起而慢慢发生变化。波兰语最终进入中小学，波兰文化得以传承。利沃夫好一点，有两三所大学保留了波兰的科学传统。然而，由于山河破碎，许多有抱负的年轻人出国留学，如获得巴黎大学博士学位的齐格蒙特·詹尼斯泽夫斯基(1888-1920年)，以及在哥廷根大学学习的基尔宾·斯基、施泰因豪斯和马祖·凯维奇。第一次世界大战的爆发导致第二年俄罗斯从华沙撤军，波兰人民最终建立了自己管理的华沙大学。Shcherbinski的前助手Yanishevsky和学生Mazu Kevic立即被聘为华沙大学的教授。

至于Shcherbinski，19世纪最后一年进入俄国统治的华沙大学数学物理系，4年后毕业时，因上述关于高斯圈的文章获得金奖。他不想用俄语出版自己的作品，这是当局强迫的，他又等了四年才在波兰杂志上发表。那一年，由于康托尔工作的启发，他开始了集合论的研究。1906年，他在贾杰洛尼亚大学获得博士学位后，第一次去华沙的一所中学教书。两年后，他被聘为利沃夫简卡西米尔大学的助理教授，并于1910年晋升为副教授。在那里的六年里，除了写了许多高质量的论文外，他还出版了三本书，即《无理数论》(1910)、《集合论概要》(1912)和《数论》(1912)。从1914年到1918年，是四年一次的世界大战。战争爆发时，谢尔宾斯基留在了俄罗斯，于是他留在了莫斯科，与刚从哥廷根大学回来的金鹿合作。战后他回到利沃夫，但同年秋，新华沙大学向他招手。谢尔宾斯基接受了任命书，那年去了华沙，第二年就成了那里的正教授。

新加入的Kjellbing Ski与Yanishevski、Mazu Kevic联手，很快形成了集合论和点集拓扑的研究中心。但是波兰学派还没有形成，因为一战之前波兰人办的两所大学只有四位数学教授，包括谢尔宾斯基和他的两位博士生导师，分别学习解析几何、数论和集合论、微分方程和微分几何，实力比较弱，新生代没有成长的环境和机会。当时波兰数学学派的先驱雅尼舍夫斯基提出了有远见的建议。1918年在华沙出版的《波兰科学:它的需求、组织和发展》载有雅尼舍夫斯基的文章《波兰数学的需求》。他指出:

“要把波兰的科学力量集中在一个相对狭窄的领域，这个领域应该是波兰数学家共同感兴趣的，也是波兰人取得举世公认成就的领域。”

这是发展数学的正确途径，符合中国革命战争史上“集中力量打歼灭战”的指导思想。雅尼舍夫斯基接着写道:

“对于一个研究者来说，合作者几乎是不可或缺的。孤独的环境大概会让他一事无成。...孤立的研究者只知道研究的结果，也就是成熟的想法，却不知道这些想法是如何产生的，何时产生的。”

再者，雅尼舍夫斯基也提出了具体的措施，其中之一就是“办一个独一无二的数学期刊”。他创办了波兰国家专业杂志《数学基金会》。不幸的是，在第一期出版之前，年仅32岁的雅尼舍夫斯基于1920年死于流感。建立和发展华沙数学学校的重任落在了比他大六岁的谢尔宾斯基身上。就波兰数学派雄心勃勃的事业而言，他们有点像《水浒传》中梁山伯英雄、晁盖和宋江的后继领导人。晁盖带领农民造反，可惜死得早。宋江并没有辱其一生，带领百姓造反。

1920年，随着Shcherbinski和Mazu Kevic主编的《基础数学》第一卷的出版，华沙数学学派稳稳地登上了舞台。随后，在巴拿赫的带领下，利沃夫学校成长起来，与华沙学校并肩而立，形成了屹立于世界数学之林的独特的“波兰数学学校”。

在华沙，Shcherbinski等几位数学教授开始实施雅尼舍夫斯基提出的战略构想。他们聚集了一批自己麾下的青年才俊，专注于集合论、拓扑学、函数论等基础数学的几个新分支，并以讨论班的形式帮助他们成长，库拉托夫斯基、萨克斯、赞格蒙、塔尔斯基就是从这里起步的。

年轻的波兰数学家成长很快，《基础数学》上发表的大部分文章都是波兰人高质量的。为了扩大影响，尽快传播波兰数学，文章大部分是用欧洲流行的英语和法语写的，虽然国家已经独立，母语可以合法使用。在勒伯格给谢尔宾斯基的信的建议下，杂志还增加了集合论应用的文章。在它的影响下，9年后，利沃夫还创办了《Studia Mathematica》杂志，发表与功能分析相关的论文。

在Shcherbinski的主持下，《数学基础》成功运行，后来成名的波兰数学家的许多早期论文都出现在上面，如巴拿赫1920年在利沃夫工业大学完成的博士论文，乌兰姆18岁在利沃夫工业大学听库拉托夫斯基讲的第一篇解决集合论问题的文章。可以说，《基础数学》杂志是那一代波兰年轻数学家的摇篮和成名之地。15年后，它被誉为集合论和函数论领域引起国际数学界关注的专业期刊。那一年的特刊记录了一位波兰数学家的骄傲话语:

“波兰一直有伟大的人民。他们往往工作很成功，属于整个领域，属于那个时代，这并不少见。但是，今天的波兰数学家不仅有杰出的个人，而且有大量致力于创造性科学工作的组织。它有自己的数学学校。”

最后一段总结了波兰数学学派迅速崛起的原因和后果。首先是历史的传承。这是一个产生哥白尼的伟大国家。追求真理而不是功利，已经成为人们精神的常态。其次是以舍宾斯基为首的“华沙三剑客”和巴纳赫、施泰因豪斯等领导人的“利沃夫两先锋”。剩下的就是这个学校的主体——一群既有数学天赋又像肖邦一样有家国情怀的年轻人才，努力让祖国在科学上强大起来。

03

“谢尔宾基地”

如果我们看一下波兰数学家的“家谱”，就可以看到在Shcherbinski有多少“孙子”。1913年指导马祖·凯维奇博士论文，后者分别于1922年、1923年、1930年指导萨克斯、赞格蒙、博苏克博士论文，并与雅尼舍夫斯基一起于1921年指导库拉托夫斯基博士论文，库拉托夫斯基于1933年指导乌兰博士论文，三年后指导艾伦·伯格博士论文。这些优秀的学生后来在波兰和美国产生了大量的数学博士。

杰吉·内曼(1894-1981)，1924年在谢尔宾斯基的指导下完成博士论文，后来成为世界著名的数学统计学家。在加州大学伯克利分校任教之前，他曾于20世纪30年代末在伦敦大学学院指导中国人徐(1910-1970)的博士论文。许陆宝在多元统计方面做出了开创性的贡献，在奈曼-皮尔逊理论的建立和发展方面做出了突出的贡献。奈曼和库拉托夫斯基各有2500多名博士后代。

谢尔宾斯基最好的学生之一库拉托夫斯基于1980年在波兰科学出版社出版了《波兰数学五十年》的历史回顾。导师去世三年后，他还在数论学术期刊《算术学报》上写了一篇回忆老师的论文，作者是Shcherbinski，生前主编。他的感情真诚而丰富，他的评论客观而贴切。至于谢尔宾斯基对集合论的贡献，库拉托夫斯基评论说:“这个学科中系统理论的形成主要归功于谢尔宾斯基。以1909年编写的教材为基础，1912年出版的《集合论大纲》是世界上最早系统解释这一理论的著作之一。”

在库拉托夫斯基看来，两次世界大战之间的二十年是施切宾斯基科学生涯中最辉煌的时期，也是他36岁至57岁的全盛时期:学术论文数不胜数，在“策梅洛-弗兰克尔集合论和广义连续统假说隐含选择公理”方面的杰出工作，以及华沙科学协会主席等繁忙的学术领导和行政事务。在这个阶段，年轻的波兰学者蓬勃发展。库拉托夫斯基写道:“大量学生的教育规模如此之大，以至于几乎每一位年轻的波兰数学家都直接或间接地是谢尔宾斯基的学生。”由此可见，人们可以像对“(”的定义(详见关于鄂尔多斯的内容)——把定义所依据的“合作论文作者关系”改为“博士论文师生关系”一样，为数学家定义“Scherbins基数”。

04

梦想数学强国

二战爆发始于1939年9月1日纳粹闪电般入侵波兰。在这场大灾难中，只有波兰数学家非正常死亡，死亡人数达到近一半，尤其是犹太裔。创立著名不动点定理的索德和对积分理论贡献巨大的萨克斯被德寇枪杀，而马祖凯维奇和巴纳奇则被德国人迫害，死于1945年二战胜利前两个月。乌兰和卡茨在战前去了美国，救了他们的命，为美国做出了巨大的贡献。其他逃离那里的波兰数学家，如赞格蒙、塔尔斯基和艾伦·伯格，为美国培养了新一代数学家。比如赞格蒙在芝加哥大学指导下的博士斯坦(1931-2018)获得了1999年的沃尔夫数学奖。在众多优秀的博士生中，费福满(1949-)和陶哲轩(1975，

在残酷的战争年代，谢尔宾斯基没有离开祖国去帮助爱国同胞的抵抗运动。他在“地下华沙大学”给少数学生讲授数学，继续学习知识，完成了十几篇文章和几本书。他设法把文件寄到了意大利。这些论文的最后一句话是:“这些定理的证明将出现在《数学基础》的出版中。“这是一个铿锵有力的声明，他坚信他的研究成果会在祖国解放的那天发表！在他的一生中，爱国主义是他生活的主题。早在1919-1921年的波兰-苏联战争中，他和马祖·凯维奇就帮助国家密码局破译了对方的军用密码。后来，三位年轻的波兰数学家为破译德国密码做出了巨大贡献，其中一个由马里安·雷耶夫斯基证明的定理(1905-1980)被称为“打赢第二次世界大战的数学定理”。

追寻波兰上个世纪的数学发展史，以及与此密切相关的谢尔宾斯基个人奋斗史，会对希望早日实现数学强国梦想的中国数学界有所启发。

在历史上，被称为“数学学派”的群体是罕见的。其中比较著名的有费利克斯·克莱因(1849-1925)和希尔伯特领导的德国哥廷根学派，以及帕夫努蒂·利沃维奇·切比雪夫(Pafnuty Ljvovich Chebyshev)，1812-1894年旗帜下的俄罗斯圣彼得堡学派，以金鹿为代表的莫斯科函数学派，卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)(1865-1952)，费德里戈·恩里克斯(Federigo Enriques)(1871-1046)和弗朗切斯科·塞韦里(Francesco Severi)，以维诺格拉多夫(vinogradov)，帕维尔·谢尔盖维奇·阿列克桑德罗夫(Pavel

在中国近代数学史上，尽管陈(1893-1971)和苏(1902-2003)在浙江大学培养了一批各自领域的人才，但他们和成长中的学生还没有形成一代出类拔萃的学派。20世纪40年代仍在中国的陈省身(1911-2004)在微分几何领域取得了世界级的成就，也带来了吴文俊(1919-2017)等一批新的数学人才。但是因为他马上去了美国，在那里定居了很久，没能有机会帮助祖国建立一所中国的微分几何学校。只是从20世纪50年代开始，随着华(1910-1985)回国，一批杰出的青年数学家迅速成长起来，并逐渐形成了一个规模不大的中国数学学派，尤其是在分析数论方面。这个解析数论学派至少传了三代，丘成桐称赞了其中最好的一个。

然而，华时期的中国数学学派并没有像波兰学派那样在数学的几个前沿领域成为世界的领导者。华在20世纪60年代以前的数学成就可能会赶上谢尔宾斯基，他的开创性工作甚至可能与对方平起平坐。他也和对方一样有着强烈的爱国情怀，希望通过发现和挖掘数学天才来帮助他们迅速成长，做出举世闻名的作品，从而提高整个中华民族在世界数学森林中的地位。这是他毅然回国的根本原因之一。

但不像波兰，科学启蒙的历史沉淀太少，儒家文化的负面影响太大，功利主义的影子随处可见，有时非学术因素的客观干扰，难以形成稳定的学派。回顾过去，审视现在，众所周知，中国数学界长期以来在某些方面缺乏团结精神、宽容精神和民主意识。

近几十年来，国内数学界一直缺乏华、、等享有崇高声望的数学家领军人物，一些有影响的人物也缺乏宽广的胸怀。经常听说“公说公，妇说妇有理”。如果散沙和山头主义的现象难以消除，将继续阻碍数学家拧成一根绳，共同培养人才。于是，对真理和学问的追求，似乎不得不让位于对权力和地位的追求。在这种背景下，要实现一个所有人都期待的数学学派并不是一件容易的事情。

中国数学界一直想解决成为本世纪数学强国的“陈省身问题”。陈胜晚年回国定居，不遗余力地提高中国数学水平。虽然他也直言不讳地告诉采访者“数学研究主要是个人的事”，但他心目中的中国数学应该像苏联时代的俄罗斯一样有才华，学校应该开花结果；像巴拿赫手下以乌兰为骨干的利沃夫数学学院的成员一样，整天在附近的咖啡店里不停地讨论数学，留下了一个有记载的、举世闻名的“苏格兰数学笔记本”。

中国有很多整形人才。只要环境合适，优秀的人物总会脱颖而出，目前的发展势头也在朝着这个方向发展。然而，仅仅靠个人奋斗形成一个受人尊敬的科学学派是不够的。“一朵花不是春天，一朵花充满了春天。”一个学校的诞生和坚持，有赖于这个领域一些精英的共同努力，也有赖于德高望重、学识高、凝聚力强的人。他们需要有共同的目标和理想，他们必须团结一致，他们必须心胸宽广，他们必须克服自私自利。总之，他们必须让自己成为优秀的研究者、教育者、组织者、领导者、演员和年轻的导师。

谢尔宾斯基的生活实践和与他密不可分的波兰数学学派的光辉历史，为我们提供了值得借鉴的经验。

2019年10月14日，星期一，写于美国哈蒂斯堡