彭罗斯台阶 被科学界誉为“鬼打墙”的彭罗斯阶梯是什么？

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△上图是著名的彭罗斯梯子。

1958年，英国数学家罗杰·彭罗斯(roger penrose)和他的遗传学家父亲列昂尼德·彭罗斯(Leonid Penrose)提出了彭罗斯阶梯:在永远向上或向下的阶梯上，没有最高点或最低点。这是三角形变体，是几何悖论。

Penrose梯子在三维空间空是不可能存在的，但是在高维空间空就变得容易了。在三维世界里，就像莫比乌斯环和克莱因瓶一样复杂。

为什么说彭罗斯阶梯是科学界的“鬼打墙”？

曾经有人做过动画。在动画里，人总是在上楼，而他却在楼梯上走上走下或者原地打转。

他不相信这是真的，继续往上走。有一次，一条鱼掉到了梯子上。他不小心踩了一下，停了下来，不理鱼，爬了上去。

结果他在爬楼梯的时候看到了自己踩过的鱼，重复了一遍结果——不管怎么走，他总是会原地打转…

这和现实中的“拐弯抹角”一模一样。“绕墙转圈”是指人在夜间走在农村时，有时会被眼前的景物弄糊涂，眼睛和大脑失去了纠正和分辨的能力，以为自己在往那个方向走，实际上却总是在转圈。

三国时的诸葛亮很会布置这个阵。他用著名的八阵图消灭了几十万曹操的军队；桃花岛上的黄曾经用石头和树桩做了一个迷宫。人一旦走进去，没有别人的帮助，不懂得法律，永远出不去。

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彭罗斯阶梯（Penrose stairs）是一个有名的几何学悖论。

是视错觉造成的无限循环阶梯。它既没有最高点也没有最低点，但有上下楼梯的视觉感受。

△插图:用视错觉构造的奇特几何图形。无限循环地下楼或上楼。

△说明:如果上图不够明显，仔细看这张图就明白了。

1958年，英国著名数学家罗杰·彭罗斯和他的父亲遗传学家列昂尼德·彭罗斯共同提出了这个有趣的视错觉几何图形。从此开始了视错觉几何图形的研究和创作。

作为一个几何悖论，违背了我们的几何常识和物理原理。在我们的三维世界里，无限循环阶梯是不可能的，因为你会到达最高点或者最低点，否则我们会得到一个永动机。因为一个物体从高到低运动，都会释放能量，无限向下的阶梯自然意味着可以无限释放能量。

而彭罗斯阶梯在视觉上看起来那么自然，揭示了人类视觉系统的一些内在缺陷或内在运行机制。通过巧妙设置梯子的长宽比，可以诱导人的视觉产生上坡或下坡的感觉，这是绘制Penrose梯子的关键诀窍。

△插图:如何画彭罗斯梯子

甚至还有人在现实中制造了一个Penrose阶梯在骗人，当然还是靠视错觉，只能靠远观的人产生。走在楼梯上的人应该小心。

△说明:注意这里有垂直落差。但是当从远处看的时候，这个差距就会被忽略。

在彭罗斯阶梯的基础上还发展出彭罗斯三角形

△ Penrose三角也是用视错觉来抹除高低差，让人觉得3D 空之间有垂直落差的两边可以直接组合，但这是不可能的。

彭罗斯阶梯视错觉产生的原因。

产生视错觉的原因是我们的大脑总是实时解读来自眼睛的视觉信息。解读的关键是意义，也就是大脑总是需要给看到的图像加上一些可以理解的意义，对看到的图像进行分类，但这些分类都是基于局部的，会导致全局悖论。

其实在彭罗斯的阶梯错觉中，单看每一个阶梯都没有错，就是在二维平面上画一个阶梯，可以用四个阶梯中的任意一个来画。但当四个步骤巧妙地结合在一起，就形成了骑车下梯子或骑车上梯子的视错觉。

△插图:著名艺术家埃舍尔创作了艺术版的彭罗斯梯子

著名艺术家埃舍尔在他的彭罗斯梯子中强调了这一点。当你看上图时，你会明显看到一个矛盾。同一个梯子上，有人上楼，有人下楼。这当然是正常的，但不正常的是他们会相遇。

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相信很多人听说过，但实际遇到的人并不多，很多人基本上在小说和一些流传的故事里听说过，真的很少人会经历，就算有人说经历过，很多人也会觉得是编造出来的东西，很多人也不会相信真的存在，但真的不存在吗，不一定！

绝大多数生活在农村的人都听说过拐弯抹角，一般都是晚上在野外偏僻的地方发生，这种情况基本都会被鬼玩，但这是否和鬼有关就先不说了，但这种拐弯抹角是一种特殊情况下会让人迷失方向，在同一个地方打转的奇怪现象。有人说为什么白天不出现，晚上才出现。会不会是人的心理恐惧导致的一种视错觉？

围着墙转圈的奥秘在于，它能使一个人的视觉做出错误的判断，使人在一定范围内转圈。当然，在鬼神看来，鬼神蒙蔽了人的眼睛，使人产生错觉。有人认为鬼神在作弄人。但是很少听说围墙圈直接受到威胁和伤害。

在民间的说法中，除了等待黎明，剩下的就是有人呼唤和回应，用现代人的话来说就是借助外力来解决。当然是用火或者骂人撒尿来解决。总的来说就是利用外在因素和一些特殊的方法来克服自己内心的恐惧，幻想被自己破解。所以有人说拐弯抹角其实是内心恐惧后产生的错觉，意思是吓唬自己，困住自己所珍视的思维。

但是，这种现象并非没有科学依据。其实这种拐弯抹角的现象，也可以用科学的方式来解读，或者以小说的形式，在法律上抓住了。科学的解释是彭罗斯阶梯理论，这是一个非常著名的数学理论，也被称为无法完成的理论阶梯，更被称为现实中无法出现的阶梯。但目前的解释是长度和宽度形成的小缝隙让人产生高度差低于坡度的错觉。

这个理论是由英国数学家罗杰·彭罗斯和他的父亲提出的。叫彭罗斯三角变体，梯子分二十三层。认为不可能存在于我们现实世界的三维空，而只能存在于更高的三维空。所以有人认为拐弯抹角是高纬度的偶然彭罗斯梯空

当然，科学家们认为，彭罗斯的阶梯原理是一种数字组合编码模型，是一种利用数字、感官和参照物混淆他人的现象。这和小说《鬼吹灯》里的挂梯很像。据说是几千年前周朝发现并使用的，不知道真假。不过彭罗斯的阶梯理论确实很吸引人，似乎可以用这个来解释。

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彭罗斯梯子和克莱恩瓶一样，属于“不可能的人物”。

是指当你在梯子上爬上爬下的时候，在我们的概念里，只要你足够执着，一定会回到最高点或者最低点。

但在彭罗斯阶梯中，无论你是怎么往上或往下爬，都不会有终点，你反而会在原地打转转，就像“鬼打墙”一样，找不到出路。但是，在彭罗斯阶梯里，无论你怎么爬上爬下，都不会有尽头。反而会原地打转，就像“拐弯抹角”，找不到出路。

这怎么可能？

在三维世界中，这当然是不可能的，即便可能，也是建筑师利用视觉的错觉，让你产生了类似的感受。在三维世界里，这当然是不可能的。即使有可能，也是建筑师用视觉的错觉，让你有类似的感觉。

这是如何实现的？

其实原理挺简单的。如下图所示，当梯子足够宽的时候，即使是水平的，甚至是下坡的，人的视错觉都会让人有往上爬的感觉。于是，彭罗斯阶梯就以视觉欺骗的方式呈现在三维世界中。

彭罗斯阶梯是由数学家罗杰·彭罗斯和他的父亲提出的。在此之前，它还提出了另一个具有立体感的彭罗斯三角形，如下图:

这看起来很奇怪，不是吗？

这个几何图形也可以通过使用幻术在三维世界中显示给你，如下图:

跟克莱因瓶一样，彭罗斯三角形、彭罗斯阶梯永远在三维世界中真正实现不了，但到了高维空间，它却是稀松平常的事儿。和克莱因瓶一样，彭罗斯三角和彭罗斯阶梯在三维世界中永远无法实现，但在高维空中，却是很平常的事情。

克莱因瓶，没有里外之分。

是否存在高维度空不知道，但至少在数学上是无法避免的。

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彭罗斯阶梯被认为是彭罗斯三角形的变种，属于几何佯谬，类似于莫比乌斯带和克莱因瓶。

△图:彭罗斯台阶

△图:彭罗斯三角

这种结构呈现出无限循环、无限延伸的概念。Penrose梯形是从二维纸上无限上升(下降)的闭环几何，但实际上只是一个视觉误差。

←图：被遮挡的角度←换一个角度后我们发现所谓的彭罗斯阶梯并非是闭环的，而是因为角度欢迎忽略了一段高度差。

小说《鬼吹灯》里有这样一座桥，基本上也是这个道理。如果，在纸面上，无论往哪个方向走都走不到终点，一直在无限循环的爬楼梯，这种情况叫做“拐弯抹角”。但是现实中不可能有这样的结构，或者说3D 空中不可能存在。

类似像克莱因瓶，这只是3D 空中类似的表达。其实克莱恩瓶内部应该没有交集。

好像被自己的眼睛欺骗了！

★浊风▼

有兴趣的同事推荐两本书，一本是80年系列《走向未来》之一的《GEB——金光闪闪的黄金一代》，是节日翻译。原著是哥德尔、埃舍尔、巴赫——不同颜色的伟大成就。原著是一本很大的书，需要一段时间才能看完。但即使在今天，这本书也值得慢慢品。

很多答案用悖论、视觉等等来解释这个问题，但都是表象。

我先说一些埃舍尔的版画，和这个意思一样。

埃舍尔的版画基本上和彭罗斯的梯子有着相同的含义。

巴赫的佳能应该在平均律钢琴曲里。它的大致意思和埃舍尔版画类似，就是你一直听着音节由低到高，却不自觉的回到了原点。

所以重点来了。这些和什么有关？只是人的视觉错误还是听觉错误？不，这一切都可以归结为哥德尔的不完全性定理。

那么哥德尔的不完全性定理是什么呢？

其实哥德尔的不完全性定理可以分为一个和两个。最基本的意思是，一个系统如果完整，里面肯定有矛盾。嗯，比如一个人完美无缺，心里肯定有很多矛盾。让你用小写把一篇课文抄100遍，两个小时完成。你要么好好干(不矛盾)，要么干不完(不完整)；要么你的字迹难以辨认(矛盾)，但两个小时就写完了(完整)。

那么彭罗斯阶梯的隐含意义就是系统完备性与内部矛盾的关系。

其实侯世达的《哥德尔、埃舍尔、巴赫——异色大组合》这本书确实值得一读。我觉得如果作者能再往下走，那么混沌理论的创始人可能就是他了。阐述了混沌理论的一些基本理论。

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