logit回归 二分类logistic回归，更新几个常见问题的解决方法

医咖会之前推送过二分类logistic回归的SPSS教程，不过有些问题未详细阐述，例如，如何验证：连续自变量与因变量的logit转换值之间存在线性关系；自变量之间无多重共线性等。经常有伙伴问到这些问题，为此，我们对二分类logistic回归的教程做了更新，希望能对大家有所帮助。

一、问题与数据

某研究者想了解年龄、体重、性别和最大摄氧量预测患心脏病的能力，招募了100例研究对象完成最大摄氧量试验，登记年龄、体重和性别，并评估研究对象目前是否患有心脏病。

二、对问题的分析

使用二分类Logistic模型前，需判断是否满足以下7项假设。

假设1：因变量是二分类变量。

假设2：有至少1个自变量，自变量可以是连续变量，也可以是分类变量。

假设3：每条观测间相互独立。分类变量的分类必须全面且每一个分类间互斥。

假设4：最小样本量要求为自变量数目的15倍，但一些研究者认为样本量应达到自变量数目的50倍。

假设5：连续的自变量与因变量的logit转换值之间存在线性关系。

假设6：自变量之间无多重共线性。

假设7：没有明显的离群点、杠杆点和强影响点。

假设1-4取决于研究设计和数据类型，本研究数据满足假设1-4。那么应该如何检验假设5-7，并进行Logistics回归呢？

三、SPSS操作

检验假设5：连续的自变量与因变量的logit转换值之间存在线性关系

连续的自变量与因变量的logit转换值之间是否存在线性关系，可以通过多种方法检验。这里主要介绍Box-Tidwell方法，即将连续自变量与其自然对数值的交互项纳入回归方程。

本研究中，连续的自变量包括年龄、体重、最大摄氧量。使用Box-Tidwell方法时，需要先计算age、weight和VO2max的自然对数值，并命名为ln_age、ln_weight、ln_VO2max。

计算连续自变量的自然对数值

以age为例，计算age的自然对数值ln_age的SPSS操作如下。

在主界面点击 Transform→Compute Variable，出现Compute Variable对话框中。在Target Variable框中输入即将生成自然对数值的变量名称。

选择Function group菜单下的Arithmetic，选择Functions and special variables菜单下的Ln，双击Ln将该公式选入Numeric Expression框中，最后双击age将该变量选入“LN”公式中。点击OK生成新变量ln_age。

如果容忍度小于0.1或方差膨胀因子大于10，则表示有共线性存在。本例中，容忍度均远大于0.1，方差膨胀因子均小于10，所以不存在多重共线性。如果数据存在多重共线性，则需要用复杂的方法进行处理，其中最简单的方法是剔除引起共线性的因素之一，剔除哪一个因素可以基于理论依据。

检验假设7：没有明显的离群点、杠杆点和强影响点

该假设的SPSS操作可见后面的“Logistic 回归”部分，此处仅展示如何解读结果。结果中Casewise List表格显示学生化残差大于2倍标准差的观测。学生化残差大于2.5倍标准差的观测需要研究者进一步观察决定这些观测是否是离群点，如有必要甚至可以从分析中剔除这些观测。

本例中，第70个观测的学生化残差为3.349，符合上述判断离群点的标准。

需要注意的是：

① 如果所有观测的学生化残差小于2倍标准差，SPSS不会输出Casewise List表格。如果已经剔除离群点，则第一次分析得到的Casewise Diagnostics表格不会再显示。

② 观测数指SPSS系统内自动编码，而非研究者赋值的编码。

③ 研究者需要查看该观测为离群点的原因，决定是否删除该观测并报告。本研究考虑不删除该观测，并在结果中报告“纳入分析的观测中有一项观测的学生化残差为3.349”。

Logistic 回归

在主界面点击Analyze→Regression→Binary Logistic，在Logistic Regression对话框中，将heart_disease选入Dependent，将age、weight、gender和VO2max选入Covariates。并按照前述操作，通过Categorical将gender变换为哑变量。

注意：如果是按本文中指导的步骤依次进行的分析，此时Logistic Regression对话框下为因变量heart_disease，Covariates框中为4个自变量age、weight、gender、VO2max和3个交互项ln_age*age、ln_weight*weight、ln_VO2max* VO2max。

此时仅需要将交互项ln_age*age、ln_weight*weight、ln_VO2max* VO2max从Covariates框中删除即可。

对于自变量筛选的方法，SPSS提供了7种选择，使用各种方法的结果略有不同，读者可相互印证。各种方法之间的差别在于变量筛选方法不同，其中Forward: LR法的结果相对可靠，但最终模型的选择还需要获得专业理论的支持。本文以Enter法为例进行展示。

点击Options，在Logistic Regression：Options对话框中，选中Classification plots，Hosmer-Lemeshow goodness-of-fit，Casewise listing of residuals和CI for exp这4个选项。在Display区域，选中At last step选项。点击Continue→OK。

四、结果解释

1. 检查变量和数据

首先检查是否存在缺失观测，纳入分析的观测数是否和数据库中观测数一致。Case Processing Summary表格如下图。

确认因变量的编码是否正确。Dependent Variable Encoding表格如下图。

观察分类自变量是否存在某一类观测数过少的情况，如果某项分类较少，可能不利于二项Logistic回归分析。本研究中，定义的分类自变量只有gender，因此Categorical Variables Codings表格只给出了gender的信息。

2. 基本分析

此部分结果的标题为“Block 0：Beginning Block”，指的是所有自变量不纳入模型、只包括常数项时的结果。此部分可以跳过。

3. Logistic回归

此部分结果的标题为“Block 1：Method=Enter”。

模型整体评价

Omnibus Tests of Model Coefficients是模型系数的综合检验。其中Model一行输出了Logistic回归模型中所有参数是否均为0的似然比检验结果。P<0.05表示本次拟合的模型中，纳入的变量中，至少有一个变量的OR值有统计学意义，即模型总体有意义。

Hosmer and Lemeshow Test是检验模型的拟合优度。当P值不小于检验水准时，认为当前数据中的信息已经被充分提取，模型拟合优度较高。

Model Summary表格中，提供了因变量的变异能够被拟合的模型解释的比例。该表格包含Cox & Snell R Square和Nagelkerke R Square，这两种R22，在Logistic回归中意义不大，可以不予关注。

模型预测能力

拟合Logistic回归模型后，对于每一个自变量组合，均可以得到结局事件发生的概率。如果事件发生的概率大于或等于0.5，Logistic回归判断为事件发生；如果可能性小于0.5，则判断为事件未发生。因此，与真实情况相比，就可以评价Logistic回归模型的预测效果。

Logistic回归模型能够将71.0%的观测正确分类，该指标常被称作percentage accuracy in classification，即诊断试验中的一致率。

预测为“是”的观测数占实际为“是”的观测数的比例即灵敏度。本研究中，45.7%患有心脏病的研究对象被模型预测患有心脏病。预测为“否”的观测数占实际为“否”的观测数的比例即特异度。本研究中，84.6%未患心脏病的研究对象被模型预测未患心脏病。

同理，还可以计算得到阳性预测值和阴性预测值。

方程中的自变量

由于本次统计过程中筛选变量的方式是Enter法，因此所有自变量均进入了模型，Variables in the Equation表格中也列出了所有自变量及其参数。其中Sig.一列表示相应变量在模型中的P值，Exp 和95% CI for EXP 表示相应变量的OR值和其95%可信区间。

结果显示，age，gender和VO2max有统计学意义，但weight没有统计学意义。

对于分类变量，OR值的含义为：相对于赋值较低的研究对象，赋值较高的研究对象患心脏病的风险是多少。对于连续变量，OR值的含义为：自变量每增加一个单位，发生结局的风险增加的倍数。

五、撰写结论

本研究采用二分类Logistic回归评估年龄、体重、性别和最大摄氧量对研究对象患心脏病的影响。使用Box-Tidwell方法检验连续自变量与因变量logit转换值间是否为线性。线性检验模型时共纳入8项，Bonferroni校正后显著性水平为0.00625。线性检验结果得到所有连续自变量与因变量logit转换值间存在线性关系。一个观测的学生化残差为标准差的3.349倍，但保留在分析中。

最终，得到的Logistic模型具有统计学意义，χ2=27.402，P<0.0005。该模型能够正确分类71.0%的研究对象。模型的敏感度为45.7%，特异度为84.6%，阳性预测值为61.5%，阴性预测值为74.3%。

模型纳入的五个自变量中，年龄、性别和最大摄氧量有统计学意义。男性患心脏病的风险是女性的7.026倍。年龄每增加1岁，患心脏病的风险增加8.9%。最大摄氧量每增加一个单位，患心脏病的风险降低9.4%。

扩展阅读

在进行二分类Logistic回归分析前，如果样本不多而变量较多，建议先通过单变量分析考察所有自变量与因变量之间的关系，筛掉一些可能无意义的变量，再进行多因素分析，这样可以保证结果更加可靠。

即使样本足够大，也不建议直接把所有的变量放入方程直接分析，一定要先弄清楚各个变量之间的相互关系，确定自变量进入方程的形式，这样才能有效的进行分析。

经过单因素分析后，应当考虑应该将哪些自变量纳入Logistic回归模型。一般情况下，建议纳入的变量有：1）单因素分析差异有统计学意义的变量；2）单因素分析时，没有发现差异有统计学意义，但是临床上认为与因变量关系密切的自变量。

此外，对于连续变量，如果仅仅是为了调整该变量带来的混杂，则可以直接将改变量纳入Logistic回归模型；如果关心该变量对因变量的影响程度，一般不直接将该连续变量纳入模型，而是建议将连续变量转化为有序多分类变量后纳入模型。

这是因为，在Logistic回归中直接纳入连续变量，那么对于该变量的OR值的意义为：该变量每升高一个单位，发生结局事件的风险变化。这种解释在临床上大多数是没有意义的。

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-ykh

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